详细讲解柯西不等式的运用

柯西不等式的公式

如图一为柯西不等式的公式（柯西不等式中的字母也可以不全为正数）：

图一

柯西不等式的作用：将数平方和的形式与一次方求和形式之间的转化。也就是说如果不等式题中给出的已知是平方和的形式，要求一次方和的形式的情况时，就可以使用柯西不等式；反过来不等式题中如果给出的已知是一次方和的形式，要求平方和的形式，也可以使用柯西不等式。

题型

下图二中的题就是一个已知一次方和的形式，要求平方和的形式，这个题就可以用柯西不等式来求解。

图二

题型解析

在柯西不等式中，有六个字母，而这个题中只有三个字母，这个时候我们可以将另外的三个字母的位置替换成具体的实数值来运用。

例如图二中的题除了x，y，z这三个字母外，就可以将1，2，3看成另外的三个字母，就可以使用柯西不等式了。这里 需要注意的是 1，2，3为正实数，x，y，z也是必须是同号的，又因为它们的和是正数6，所以x，y，z都是这正实数。

图二中题的具体做法

将x+2y+3z=6根据柯西不等式变形得：

6=x+2y+3z≤√(x^2+y^2+z^2)·√(1^2+2^2+3^2)；

整理得6≤√(x^2+y^2+z^2)·√14；

两边平方去根号得x^2+y^2+z^2≥18/7；

当且仅当x/1=y/2=z/3时不等式的等号成立，即x=3/7，y=6/7，z,9/7；

又因为x，y，z为实数，所以等号可以取到；

所以x^2+y^2+z^2最小值为18/7。

练习

图三

图三同样也是利用柯西不等式，那你会做吗？这道题会在评论区给出答案。

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