（1）依题意，因$E$是$BC$的中点，$F$在$AD$上，且$AF=2FD$，则$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA})-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$=\frac{2}{3}\overrightarrow{BD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}{=}\frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}$，所以$\overrightarrow{EF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}$；$(2)$因$BD=BC=AB=3$，$\angle CBD=90^{\circ}$，$\angle ABD=ABC=60^{\circ}$，即$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=3$，则$\overrightarrow{a}⋅\overrightarrow{b}=0$，$\overrightarrow{a}⋅\overrightarrow{c}=\frac{9}{2}$，$\overrightarrow{b}⋅\overrightarrow{c}=\frac{9}{2}$，由（1）知：$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{(\frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c})^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}\overrightarrow{a}^{2}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}^{2}+\frac{1}{9}\overrightarrow{c}^{2}-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}⋅\overrightarrow{b}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}⋅\overrightarrow{c}+\frac{4}{9}\overrightarrow{c}⋅\overrightarrow{a}}=\frac{\sqrt{31}}{2}$，所以$EF$的长是$\frac{\sqrt{31}}{2}$.
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