对数均值不等式证明什么？

证明过程如下：

设f(x)=e^(x-1)–x，f’(x)精局胞尔品=e^(x-1)-1；f”(x)=e^(x-1)。

f(1)=0，f’(1)=0，f”(x)>0，所以f(x)在x=1有绝对的最低值。

f(x)=e^(x-1)-x≥f(1)=0

所以e^(x-1)≥x

设xi>0，i=1，n。算术平均值为a=(x1+x2+x3+…+xn)/n，a>0。

x/a≤e^(x/a-1)

(x1/a)*(x2/a续分)*(x3/a)*…*(x细n/a)≤e^(x1/a-1)e^(银配尼x2/a-1)e^(x3/a-1)…e^(xn/a-1)

=e^(x1/a-1+x2/a-1+爱满叶降个型倒业几组x3/a-1+…xn/本批究a-1)

=e^[(x1+x2+x3+…+xn)/a-n]

=e^[n力短来语谁a/a-n]=e^0=1

所以

(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a)

=(x1*x2*x3*…*xn)/a^n≤1

即(x1*x2*x3*…*xn)≤a^n

(x1*x2*x3*…迅*xn)^(1/n)≤a,即算术平均数大于等于几何平均数。

扩展资料：

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、垂实上期极内拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：

（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式强铁护材蒸还甚建更为简便）。

参考资料来源：百度身渐山步场旧较探百科-均值不等式

标签：不等式,对数,均值