如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D．（1）求证：∠ADE=∠BDE．（2）过点C作CG⊥AD于点G，交AB于点F，求证：DE=12BF．

【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，

∴AE=BE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠BAD=45°，

∵BD⊥AD，

∴∠ABD=45°，

∴∠BAD=∠ABD，

∴AD=BD，

在△ADE和△BDE中，

AD=BDDE=DEAE=BE，

∴△ADE≌△BDE（SSS），

∴∠ADE=∠BDE；

（2）解：如图，作EH∥CF交AB于H，

∵CE=BE，

∴FH=BH=12BF，

∵AG⊥AD，BD⊥AD，

∴CF∥BD，

∴EH∥BD，

∵∠BDE=∠ABD=45°，

∴四边形BDEH是等腰梯形，

∴DE=BH，

∴DE=12BF．

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