第二章
因式分解
§2-1因式与倍式
壹、本节重点
(1)如果多项式A能被多项式B整除，商式为多项式C，可以写成ABC，也可以写成ABC。这个时候，我们说多项式B和多项式C是多项式A的因式，而多项来自式A是多项式B和多项式C的倍式。
(2)将一个二次式写成两个一次式的乘积，叫做这个二次式的因式分解。
贰、例题
例1.判别x+1是否为2x3-3x2-2x+6的因式？
解： 【答：不是】
例2.判别2x3+x2-4x-3是否为2x-3的倍式？
解： 【答：是】
例3.a-b是否为ac天卫质巴副升配武-bc的因式？为什麼跑比重？
解： 【答：是】
例4.ax+ab是否为a的倍式？为什麼？
解： 【答：是】
例5.设x+1是x2+mx+2的因式，求m值。
解： 【答：3】
例6.设x3+4x2+nx-10是x-2的倍式，求n值。
解： 【答：-7】
参360问答、习题
1.判别x+2是否备的一套抓动值为x3+x2-4x-4的因式？
解：
2.判别2x3+3x2-8x-12是否为2x+3的倍式？
解：
3.x-y是否为ax-ay的因式？为什持群万也错经围麼？
解：
4.6y+xy2是否为y的倍式？为什麼？
解：
5.设x-2是x3+mx2+3x+2的因式，求m值。
解：
6.设2x3+nx2-1是2x-1的倍式，求n值。
解：
肆、习题解答
1.是2.是3.是4.是5.-46.3
分解因式
1.2x4y2－4x3y2＋10xy4。
2.5xn+1－15xn＋60xn--1。
3.
4.(a+b)2x2-2(a2-b2)xy+(a-b)2同顶y2
5.x4-1
6.量力础民绍约还沿落台－a2－b2＋2ab＋4
算担钢者散7.
8.
9
10.a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
11.x2-2x-8
12．3x2+5x-2
13.(x+1被息态晶右算前居)(x+2)(x+3)(x+4)+1
14.(x2+3本胞过顾按了民x+2)(x2+7x+12)-120.
15．3x2+1永成叶能巴声1x+10
16.5x2―6xy―8y2
17．求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。
18.设为正整数，且64n-7n能被57整除，证明：是57的倍数.
19.求证：无论x、y为何香换值，的值恒为正。
20.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x,y的值。
三求值。
21.已知a,b,c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求a+b+c的值.
22．已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式，试确定m,n的值，并求出它的其它因式。
1.解：原式=2xy2•x3－2xy2•2x2＋2xy2•5y2=2xy2(x3－2x2＋5y2)。
2.解：原式=5xn--1•x2－5xn--1•3x＋5xn--1•12=5xn--1(x2－3x＋12)
3.解：原式=3a(b-1)庆宣(1-8a3)=3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a2)*
提示：立方差公式：a3-b3=(a-适朝b)(a2+ab+b2)立方左乐便观和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
4.解：原式=[(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2=(ax+bx-ay+by)2
5.解：原式=(x2+1)(x2-1)=(x2+1)(x+1)(x-1)
6.解：原式＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2路许分史谓缩史）（a－b－2）
写口孩游经7.解：原式=x4-x3-(x-1)=x3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x3-1)=(x-1)2(x2+x+1)*
8.解：原式=y2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y4=y2(x+y-6)2-y4=y2[(x+y-6)2-y2]
=y2(x+y-6+y)(x+y-6-y)=y2(x+2y-6)(x-6)
9.解：原式=(x+y)2(x2-12x+36)-(x+y)4=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)
=(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)=-(x+y)2(2x+y-6)(y+6)
10.解：原式=.（a2+b2+2ab）+2bc+2ac+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=(a+b+c)2
11.解：原式=x2-2x+1-1-8=(x-1)2-32=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)
12．解：原式=3(x2+x)-2=3(x2+x+-)-2=3(x+)2-3×-2=3(x+)2-
=3[(x+)2-]=3(x++)(x+-)=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)
13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令x2+5x=a,则原式=(a+4)(a+6)+1=a2+10a+25=(a+5)2=(x2+5x+5)
14.解:原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120
令x2+5x=m则=(m+6)(m+4)-120=m2+10m-96=(m+16)(m-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)
15．解：原式＝(x+2)(3x+5)
说明：十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，特别是当二次项的系数不是1的时候，给我们的分解带来麻烦，这里主要就是讲讲这类情况。分解时，把二次项、常数项分别分解成两个数的积，并使它们交叉相乘的积的各等于一次项。需要注意的是:⑴如果常数项是正数，则应把它分解成两个同号的因数，若一次项是正，则同正号；若一次项是负，则应同负号。⑵如果常数项是负数，则应把它分解成两个异号的因数，交叉相乘所得的积中，绝对值大的与一次项的符号相同（若一次项是正，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是正号；若一次项是负，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是负号）。
16.解：原式＝(x－2y)(5x＋4y)
17．证明：原式=31998(32－4×3＋10)=31998×7，∴能被7整除。
18.证明：=8（82n-7n）+8×7n+7n+2=8（82n-7n）+7n(49+8)=8（82n-7n）+577n
是57的倍数.
19.证明：=4x2-12x+9+9y2+30y+25+1=(2x-3)2+(3y+5)2+1≥1.
20.解：∵x2+y2-4x+6y+13=0∴x2-4x+4+y2+6y+9=0(x-2)2+(y+3)2=0
(x-2)2≥0,(y+3)2≥0.x-2=0且y+3=0x=2,y=-3
21.解：∵a-b=8∴a=8+b又ab+c2+16=0即∴（b+8）b+c2+16=0即(b+4)2+c2=0
又因为，(b+4)2≥0，C2≥0,∴b+4=0,c=0,b=-4,c=0,a=b+8=4∴a+b+c=0.
22．解：设它的另一个因式是x2+px+6,则
x4-6x3+mx2+nx+36=(x2+px+6)(x2+3x+6)=x4+(p+3)x3+(3p+12)x2+(6p+18)x+36
比较两边的系数得以下方程组：解得
标签：计算题,因式分解
