更相减损法的概述

古法探源(1)

更相减损法,又称等值算法

“关于约分问题,实质是如何求分子,分母最大公约数的问题.<九章算术>中介绍了这个方法待晶死述究,叫做”更相减损席述高城处因致术”,数学家刘徽对例稳坚它领范聚氧音变况此法进行了明确的注解和怎还灯占管力曾酒云说明,是一个实用的数学方法,中学生应该掌握它.

例1.今有九十一分之四十九,问约之得几何?

我们用(91,49)表示91和49的最大公约数.按刘徽所说,分别列出分子,分母,”以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之,等数约之,即除也,其所以相减者怕怕范况鲁局皆等数之重叠,故以等数约之.”译文如下：约分的法则是：若分子、分母均指群当试为偶数时，可先被2除，否则，将分子与分母之数列在它处，然后以小数减大数，辗转相减，求它们的最大公约数，用最大公约数去约诗器斯互起源生据够简分子与分母。其与古希腊欧几里德所著的《几何原本》中卷七第一个命题所论的相同。列式如下:

91≡42（mod49)

49≡7（mod42)

7│42

这里得到的7就叫做章路原难华温重”等数”,91和49都是这等数的重叠(即倍数),故7为其关公约数.而7和7的最大公约数就技是7,(7,7)=7,所以(91,49)=(42,7)=(7,7)=7

更相减损术在现代仍有理论意义和实用价值.吴文俊教授说:”在我国,求两数最大公约数即等数,用更相减损之术,将两数以小减大累减以得之,如求24与15的等数,其逐步减损如下表所示:(2染他移克谈4,15)->(9,15)->(9,6)->(3,6)->(3不书坏香力台离费程争,3)

每次所得两数与前两数有相同的等数,两数之值逐步减少,因而到有限步后必然获得相同的两数,也即所求的等数,其理由不证自明.

这个寓理于算不证自明的方法,是完全构造性与机械怀植厂养督正果语化的尽可以据此编成程序上机实施”.吴先生的话不仅说明了此法的理论价是齐绝里液则老牛孔值,而且指明学习和研会块城职杨尔叶措究的方向.

更相减损法很有研究价值,它奠定了极我国渐近分数,不定分析,同余式论和大衍求一术的理论基础.望能仔细品味

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