(1)$\triangle BEC$是等腰三角形，理由如下：
$∵$四边形$ABCD$是矩形，
$∴AD/\!/BC$，
$∴∠DEC=∠BCE$，
$∵EC$平分$∠DEB$，
$∴∠DEC=∠BEC$，
$∴∠BEC=∠ECB$，
$∴BE=BC$，
即$\triangle BEC$是等腰三角形.
解析：求出$∠DEC=∠ECB=∠BEC$，推出$BE=BC$即可；
(2)$∵$四边形$ABCD$是矩形，
$∴∠A=90^{\circ}$，
$∵∠ABE=45^{\circ}$，
$∴∠ABE=AEB=45^{\circ}$，
$∴AB=AE=a$，
由勾股定理得：$BE= \sqrt {a^{2}+a^{2}}= \sqrt {2}a$，
即$BC=BE= \sqrt {2}a.$解析：求出$AE=AB=a$，根据勾股定理求出$BE$即可.
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识；熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键.
标签：等腰三角,ABCD,AD
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