首先定义ε≤min{IX1-aI，Ib-XnI}，则f(x)在闭区间[a+ε，b-ε]也连续，
且a＜a+ε＜X1＜Xn＜b-ε＜b
由连续函数介值定理，在区间[a+ε，b-ε]有：
m≤f(Xi)≤M
则有
m^n≤f(Xi)......f(Xn)≤M^n，
因此有：
m≤[f(Xi)....f(Xn)]^(1/n)≤M
定义常数C=[f(Xi)....f(Xn)]^(1/n)
显然m≤C≤M
同时由介质定理可得
在闭区间[a+ε，b-ε]内必然存在一点ξ，且a+ε≤ξ≤b-ε，满足
f(ξ)=c=[f(Xi)....f(Xn)]^(1/n)
考虑到a＜a+ε＜b-ε＜b
上述结论在开区间（a,b）内也成立。
由此得证。
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